Welcome to TiddlyWiki created by Jeremy Ruston; Copyright © 2004-2007 Jeremy Ruston, Copyright © 2007-2011 UnaMesa Association
''Proposition (Dirichlet):'' Soit \(f\) continue sur \([a,b[\) et soit \(g\) de classe \(C^1\), monotone et bornée sur \([a,b[\). Supposons que
*\(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\) est bornée sur \([a,b[\) et
*\(\lim_{x \to b-} g(x)=0\).
Alors \(\int_a^b f(t)g(t)\, dt\) converge.
Preuve : Supposons sans perte de généralité que \(g\) est croissante et par conséquence \(g'\geq 0\). On a pour tout \(x,y \in [a,b[\)
\[
\int_x^y f(t)g(t)\, dt = [F(t)g(t)]_x^y-\int_x^yF(t)g'(t)\,dt.
\]
Maintenant si \(\vert F(x)\vert <K\) sur \([a,b[\), on a \(\vert[F(t)g(t)]_x^y\vert \leq 2K\varepsilon\) si \(x,y\) sont assez proches de \(b\).
De plus comme \(F\) est continue et \(g'\) est positive et intégrable sur \([x,y]\) on obtient de la [[formule de la moyenne|Formule de la moyenne]] qu'il existe \(c \in [x,y]\) tel que
\[
\int_x^yF(t)g'(t)\,dt=F(c)\int_x^y g'(t)\,dt=F(c)(g(y)-g(x)).
\]
On a \(\vert F(c)(g(y)-g(x))\vert\leq K\varepsilon\) pour \(x,y\) assez proches de \(b\). Finalement \(\int_a^b fg\,dt\) converge par le critère de Cauchy. \(\square\)
Le critère suivant est très similaire. Sa preuve aussi. Comparez les différences!
''Proposition (Abel):'' Soit \(f\) continue sur \([a,b[\) et soit \(g\) de classe \(C^1\), monotone et bornée sur \([a,b[\). Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge, alors \(\int_a^b f(t)g(t)\, dt\) converge.
Preuve : Supposons sans perte de généralité que \(g\) est croissante et par conséquence \(g'\geq 0\). On a pour tout \(x,y \in [a,b[\)
\[
\int_x^y f(t)g(t)\, dt = [F(t)g(t)]_x^y-\int_x^yF(t)g'(t)\,dt.
\]
Maintenant comme les limites de \(F\) et \(g\) existent en \(b-\), on a \(\vert[F(t)g(t)]_x^y\vert \leq \varepsilon\) si \(x,y\) sont assez proches de \(b\).
De plus comme \(F\) est continue et \(g'\) est positive et intégrable sur \([x,y]\) on obtient de la [[formule de la moyenne|Formule de la moyenne]] qu'il existe \(c \in [x,y]\) tel que
\[
\int_x^yF(t)g'(t)\,dt=F(c)\int_x^y g'(t)\,dt=F(c)(g(y)-g(x)).
\]
Comme \(\int_a^bf\,dt\) converge, \(F\) est bornée (disons par \(K\)) sur un voisinage gauche de \(b\). On a \(\vert F(c)(g(y)-g(x))\vert\leq K\varepsilon\) pour \(x,y\) assez proches de \(b\). Finalement \(\int_a^b fg\,dt\) converge par le critère de Cauchy. \(\square\)
''Proposition 1.4 :'' Supposons que la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) est convergente de somme \(s\). Soit \((n_k)\subset \mathbb N\) une suite strictement croissante. Posons \(b_0:=a_0+\ldots+a_{n_0}\) et \(b_k:=a_{n_{k-1}+1}+\ldots+a_{n_k}\) pour tout \(k\geq 1\). Alors la série \(\sum_{n=0}^\infty b_n\) converge et sa somme est \(s\).
ATTENTION : La proposition ci-dessus montre qu'on peut ''ajouter'' des parenthèses librement sans changer la somme d'une série convergente. Par contre on ne peut pas ''enlever'' les parenthèses. En effet, considérez \(\sum_n (1-1)\).
|background:#61A228;!Chapitre 1|background:#888888;Séance du 02/09/2014|
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/%
!Seance1
*[[Séries numériques : suite de sommes partielles, série convergente, somme de la série, série divergente]]
*Exemples \(\sum q^n\), \(\sum \frac{1}{n(n+1)}\), \(\sum \frac1n\).
*Convergence et divergence ne dépende pas d'un nombre fini de termes
*[[Linéarité de la somme pour les séries convergentes]]
*[[Associativité pour les séries convergentes]]
!Seance2
*[[Condition nécessaire de convergence]]
*[[Critère de Cauchy pour les séries]]
*[[Convergence absolue et semi-convergence]]
*[[Critère de comparaison pour les séries]]
*[[Test de la racine \(n\)-ième]]
*Exemple: \(\sum nz^n\)
*[[Test de comparaison de quotients]]
*[[Test du quotient de d'Alambert]]
*Exemple: \(\sum \frac{n!}{n^n}z^n\) cas \(|z|>e\) et \(|z|<e\)
!Seance3
*Version limite de critères de comparaison, de la racine \(n\)-ieme, de d'Alembert.
*\(\sum \frac{n!}{n^n}z^n\) avec \(|z|=e\) ne peut pas être résolu avec d'Alembert limite.
*[[Critère télescopique]] ou plutôt de condensation de Cauchy
*Exemple: \(\sum \frac{1}{n^\alpha}\) CV ssi \(\alpha>1\)
*[[Critère de Kummer et critère de Raabe]]
!Seance4
*[[Sommation d'Abel]]
*[[Critère d'Abel et Dirichlet pour les séries]]
*[[Critère de Leibniz]]
!Seance5
*Définition d'une [[subdivision]]
*Définition de [[sommes de Darboux]], [[Intégrales supérieurs et inférieurs et R-intégrabilité]] d'une fonction bornée quelconque définie sur un segment
*Exemples: fonction constante et fonction de Dirichlet
*[[Quelques propriétés de sommes supérieures et inférieures (raffinements, ...)|Quelques propriétés de sommes inf et sup]]
!Seance6
*[[fonctions R-intégrables sont un espace vectoriel]]
*[[Critère de R-intégrabilité]]
* L'intégrale comme limite
* [[Relation de Chasles]] + convention quand \(a\geq b\)
!Seance7
* [[valeur absolu]]
* [[min, max, produit]]
* [[critère de R-intégrabilité amélioré|intégrale de Riemann comme une limite]]
!Seance8
*[[Sommes de Riemann, relation à l'intégrale de Riemann]]
*[[Formule de Newton-Leibniz]]
*Exemple d'une fonction \(f:[0,1] \to \mathbb R\) sans primitive mais R-intégrable, Théorème de Darboux
!Seance9
*[[Rappels sur les limites et continuité]]
*[[Intégrale indéfinie]]
*[[Intégration par parties]]
*[[Changement de variables]]
!END%/
''Proposition 1.34 :'' Soit \(\varphi:[a,b] \to {\mathbb R}\) une fonction dérivable dont \(\varphi' \in {\cal R}(a,b)\). Soit \(f\) une fonction définie et continue sur \(\varphi([a,b])\). Alors
\[
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y) \, dy.
\]
Preuve : Posons \(g(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x)\). Les hypothèses impliquent que \(g\in {\cal R}(a,b)\). Par le [[Corolaire 1.32|Intégrale indéfini - continuation]], \(f\) admet une primitive \(F\) sur \(\varphi([a,b])\) et le terme de droite vaut \(F(\varphi(b))-F(\varphi(a))\). Il est évident que \(F(\varphi(\cdot))\) est une primitive de \(g\). On peut donc appliquer le [[Théorème 1.27|Formule de Newton-Leibniz]] et on voit que le terme de gauche vaut \(F(\varphi(b))-F(\varphi(a))\). \(\square\)
''Remarque :'' Les hypothèses ci-dessus seront satisfaites si \(\varphi \in C^1([a,b])\). Aussi, si \(\varphi\) est injective sur \([a,b]\) avec la réciproque \(\varphi^{-1}\) et \(A=\varphi(a)\), \(B=\varphi(B)\) on peut écrire la formule ci-dessus comme :
\[
\int_{\varphi^{-1}(A)}^{\varphi^{-1}(B)} f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx=\int_A^B f(y) \, dy.
\]
''Proposition 1.5 :'' Si la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge, alors \(\lim_{n \to \infty} a_n =0\).
ATTENTION : La réciproque est fausse. Rappelez vous de \(\sum_n \frac1n\).
''Définition 1.36 :'' Une fonction \(f\) est ''uniformément continue'' sur un intervalle \(I\) si
\[
\forall \, \varepsilon>0 \, \exists \, \delta>0 \, \forall \, x,y \in I : \vert x-y \vert< \delta \Longrightarrow \vert f(x)-f(y) \vert<\varepsilon.
\]
''Remarque :'' Évidement, toute fonction uniformément sur \(I\) continue est automatiquement continue sur \(I\). La réciproque n'est pas vraie. Mais tout fonction lipschitzienne sur \(I\) est uniformément continue sur \(I\).
''Proposition 1.37 :'' Soit \(f:[a,b] \to {\mathbb R}\) une fonction continue sur \([a,b]\). Alors elle est uniformément continue sur \([a,b]\).
ATTENTION : Il est essentiel que l'intervalle \([a,b]\) est borné et fermé!!! Sinon le lemme n'est plus valable. Trouvez des contre-exemples!
Preuve : Sinon : \(\exists\, \varepsilon >0\, \forall n \in {\mathbb N} \, \exists \, x_n,y_n \in [a,b]\) tels que \(\vert x_n-y_n\vert <1/n\) et \(\vert f(x_n)-f(y_n)\vert\geq \varepsilon\). Comme \((x_n)\subset [a,b]\) le Théorème de ~Bolzano-Weierstrass implique qu'il existe \(x\in [a,b]\) et une suite extraite \((x_{n_k})\) telle que \(x_{n_k} \longrightarrow x\). Par notre hypothèse, \(y_{n_k} \longrightarrow x\) aussi. Par continuité \(\lim_{k\to \infty} f(x_{n_k})=\lim_{k\to \infty} f(y_{n_k})\) ce qu'est absurde. \(\square\)
''Définition 1.7 :'' Si la série \(\sum_{n=0}^\infty \vert a_n\vert\) converge, on dit que la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge ''absolument''.
Si la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge mais pas absolument, on dit que la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) ''semi-converge''.
''Corolaire 1.8 :'' Si la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge absolument, alors elle converge.
Preuve: Inegalite triangulaire + [[Critère de Cauchy pour les séries]].
''Définition 2.6 :'' Soit \(-\infty\leq a<b\leq \infty\) et \(f \in \mathcal R_{loc}(]a,b[)\). Si \(\int_a^b\vert f(t)\vert\, dt\) converge on dit que l'intégrale \(\int_a^b f\, dt\) converge ''absolument''.
Si \(\int_a^b f\, dt\) converge mais pas absolument, on dit que \(\int_a^b f\,dt\) ''semi-converge''.
''Proposition 2.7 :'' Si \(\int_a^b f\, dt\) converge absolument, alors \(\int_a^b f\, dt\) converge.
Preuve: [[Critère de Cauchy]] et [[Proposition 1.16|valeur absolu]].
''Proposition 1.16 :'' Soient \((a_n),(b_n) \subset \mathbb C\). Supposons que \(\sum |b_k-b_{k+1}|<\infty\). Supposons qu'une de deux conditions suivantes soit satisfaite :
* (Abel) \(\sum a_n\) converge,
* (Dirichlet) la suite de sommes partielles \(\left(\sum_{n=1}^N a_n\right)_{N=1}^\infty\) est bornée et \(\lim b_n=0\).
Alors \(\sum a_n b_n\) converge.
''Remarque :'' Si \((b_n)\) est décroissante, alors \(\sum |b_k-b_{k+1}|<\infty\) ssi \(\lim b_n\) existe et est finie.
''Théorème 2.5 :'' Soit \(f \in \mathcal R_{loc}([a,b[)\) avec \(-\infty<a<b\leq +\infty\). Alors \(\int_a^b f\, dt\) converge ssi pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(c \in ]a,b[\) t.q. pour tous \(x,x' \in ]c,b[\) on a \(\vert\int_x^{x'}f\, dt\vert<\varepsilon\).
On a un énoncé pareil pour les \(f \in \mathcal R_{loc}(]a,b])\) avec \(-\infty\leq a<b< +\infty\).
''Proposition 1.6 :'' La série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge ssi pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(n_0 \in \mathbb N\) tel que pour tous \(n>m \geq n_0\) on a \(\vert a_{m+1}+\ldots+a_n\vert <\varepsilon\).
Preuve : La suite de sommes partielles \((S_n)\) de la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge ssi elle est de Cauchy. On remarque que \(S_n-S_m=a_{m+1}+\ldots+a_n\). \(\square\)
''Proposition 1.14 (Kummer) :'' Soit \((a_n)\subset \mathbb C\setminus \{0\}\). On suppose qu'il existe une suite \((p_n) \subset \mathbb R^+\) et une constante \(c>0\), et \(m \in \mathbb N\) tels que pour tout \(n\geq m\) on a
\[
p_n\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-p_{n+1}>c.
\]
Alors \(\sum a_n\) converge.
''Proposition 1.15 (Raabe) :'' Soit \((a_n)\subset \mathbb C\setminus \{0\}\).
(i) Si il existe \(\lambda>1\), \(n_0 \in \mathbb N\) tel que pour tout \(n\geq n_0\) on a
\[
n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right) \geq \lambda
\]
(en particulier si \(\lim n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)>1\))
alors \(\sum |a_n|\) converge.
(ii) Si \( (a_n)\subset \mathbb R^+\) et il existe \(n_0 \in \mathbb N\) tel que pour tout \(n_0 \geq n\) on a
\[
n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) \leq 1
\]
(en particulier si \(\lim n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)<1\))
alors \(\sum a_n\) diverge.
''Corollaire 1.17 :'' Soit \((b_n)\subset \mathbb R^+\) une suite décroissante. Alors \(\sum (-1)^n b_n\) converge ssi \(\lim b_n=0\).
''!!!Attention!!!'' La condition \(\lim b_n=0\) n'implique pas la convergence de \(\sum b_n\) en général.
''Proposition 1.12 :'' Soit \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) bornée. LASSE :
# \(f \in {\mathcal R}(a,b)\)
# \(\forall \, \varepsilon>0 \, \exists \, \sigma \in {\mathcal S}(a,b) : \overline{S}_\sigma f - \underline{S}_\sigma f <\varepsilon\).
''Proposition 2.8 :'' Soient \(f,g \in \mathcal R_{loc}(]a,b[)\) deux fonctions. Si pour tout \(x \in ]a,b[\) on a \(0\leq \vert f(x)\vert \leq g(x)\) alors
*\(\int_a^b g\, dt\) CV \(\Rightarrow \int_a^b f \, dt\) converge absolument,
*\(\int_a^b f\, dt\) DV \(\Rightarrow \int_a^b g \, dt\) DV.
''Proposition 1.9 :''
Soit \((a_n)\subset \mathbb C\) et soit \((b_n) \subset \mathbb R^+\). S'il existe \(n_0 \in \mathbb N\) tel que pour tout \(n \geq n_n\) on a \(\vert a_n \vert \leq b_n\), alors
* \(\sum_{n=0}^\infty b_n\) CV \(\Rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n\) AC,
* \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) DV \(\Rightarrow \sum_{n=0}^\infty b_n\) DV.
''Proposition 1.13 :'' Soit \((a_n) \subset \mathbb R^+\) une suite decroissante. Alors \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge ssi \(\sum_{n=0}^\infty 2^na_{2^n}\) converge.
''Definition 2.1 :'' Soit \(I\subset \mathbb R\) un intervalle (quelconque, même non-borné). On dit que \(f:I\to \mathbb R\) est ''localement integrable'' (et on le note \(f \in \mathcal R_{loc}(I)\)) si \(f\in \cal R(a,b)\) pour tout \([a,b] \subset I\).
''Théorème 1.27 (Théorème fondamental de l'analyse) :'' Soit \(f \in {\cal R}(a,b)\) et supposons que \(f\) admet une primitive \(F\) sur \([a,b]\). Alors
\[
\int_a^b f \, dx=F(b)-F(a).
\]
Preuve : Pour chaque \(n \in {\mathbb N}\) soit \(\sigma_n=\{x_0^n,\ldots,x_n^n\}\) la subdivision régulière de \([a,b]\) à pas \((b-a)/n\). On écrit
\[
F(b)-F(a)=\sum_{i=0}^{n-1} F(x_{i+1}^n)-F(x_i^n) = \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}^n-x_i^n) F'(\xi_i^n)= \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}^n-x_i^n) f(\xi_i^n)=S_{(\sigma_n,\xi_n)}f
\]
où \(\xi_i^n \in ]x_i^n,x_{i+1}^n[\) existe d'après le théorème des accroissements finis et \(\xi_n=\{\xi_0^n,\ldots,\xi_{n-1}^n\}\). Le [[Corolaire 1.26|Sommes de Riemann, relation à l'intégrale de Riemann]] nous permet conclure.\(\square\).
''Proposition 1.35 :'' Soit \(f\in C^{n+1}([a,b])\). Alors
\[
f(b)=\sum_{i=0}^n f^{(i)}(a) \frac{(b-a)^i}{i!} +R_n,
\]
avec
\[
R_n=\int_a^b f^{(n+1)}(t)\frac{(b-t)^n}{n!}\, dt.
\]
Preuve: Par récurrence sur \(n\). On utilise intégration par parties.
''Proposition 1.39 :'' Soient \(f\in C([a,b])\) et \(g\in {\cal R}(a,b)\). On suppose de plus que \(g \geq 0\) sur \([a,b]\). Alors il existe \(c \in [a,b]\) tel que
\[
\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^b g(x)\, dx.
\]
Preuve : On sait que \(f \in {\cal R}(a,b)\) et donc \(fg \in {\cal R}(a,b)\). Soit \(m=\min f([a,b])\) et \(M=\max f([a,b])\). Alors \(mg \leq fg \leq Mg\) sur [a,b]. En intégrant on obtient
\[
m \int_a^b g(x)\, dx \leq \int_a^b f(x)g(x)\, dx \leq M\int_a^b g(x)\, dx.
\]
Comme \(f\) est continue, le théorème des valeurs intermédiaires donne \(f([a,b])=[m,M]\) donc il existe \(c\in [a,b]\) avec la propriété désirée. \(\square\)
Remarque : Le cas \(g\equiv 1\) sur \([a,b]\) est également intéressant.
Preuve de la [[Proposition 1.31|Intégrale indéfinie]] : 1.: Remarquons d'abord que \(F\) est définie sur \([a,b]\) grâce à la relation de Chasles. Aussi (si on suppose que \(\vert f\vert\leq L\) sur \([a,b]\) ) on a
\[
\vert F(x)-F(y)\vert = \Big\vert \int_y^x f(t)\,dt\Big\vert \leq \Big\vert\int_y^x\vert f(t)\vert\,dt\Big\vert\leq L\vert x-y\vert.
\]
2.: Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que pour tout \(c<t<c+\delta\) on a \(A-\varepsilon<f(t)<A+\varepsilon\). Il suit que pour \(c<x<c+\delta\) on a
\[
(A-\varepsilon)(x-c)\leq \int_c^x f(t)\, dt \leq (A+\varepsilon)(x-c).
\]
Donc
\[
F'_+(c)=\lim_{x \to c+} \frac{F(x)-F(c)}{x-c}=\lim_{x \to c+} \frac{\int_c^x f(t)\,dt}{x-c}=A.
\]
\(\square\)
''Corolaire 1.32 :'' Soit \(f:[a,b] \to {\mathbb R}\) continue sur \([a,b]\). Alors \(F'(c)=f(c)\) pour tout \(c\in [a,b]\), i.e. \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\).
Preuve : Nous devons admettre que toute fonction continue est R-intégrable ([[Théorème 1.38 qu'on prouvera dans quelques semaines|R-intégrabilité des fonctions continues]]). On peut donc appliquer la Proposition 1.31 2). \(\square\)
Soit \(f\in {\cal R}(a,b)\). On va etudier la fonction \(F(x):=\int_a^x f \, dt\) parfois appelée l'intégrale indéfinie de \(f\).
''Proposition 1.31 :'' Soit \(f \in {\cal R}(a,b)\).
# Alors \(F\) est lipschitzienne sur \([a,b]\).
# Soit \(c\in [a,b[\). Si \(\lim_{x\to c+} f(x) =A \in {\mathbb R}\) alors \(F'_+(c)=A\). Pareil pour \(F'_-(c)\).
Preuve : 1.: Grâce à la relation de Chasles (si on suppose que \(\vert f\vert\leq L\) sur \([a,b]\) ) on a
\[
\vert F(x)-F(y)\vert = \Big\vert \int_y^x f(t)\,dt\Big\vert \leq \Big\vert\int_y^x\vert f(t)\vert\,dt\Big\vert\leq L\vert x-y\vert.
\]
2.: Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que pour tout \(c<t<c+\delta\) on a \(A-\varepsilon<f(t)<A+\varepsilon\). Il suit que pour \(c<x<c+\delta\) on a
\[
(A-\varepsilon)(x-c)\leq \int_c^x f(t)\, dt \leq (A+\varepsilon)(x-c).
\]
Donc
\[
F'_+(c)=\lim_{x \to c+} \frac{F(x)-F(c)}{x-c}=\lim_{x \to c+} \frac{\int_c^x f(t)\,dt}{x-c}=A.
\]
\(\square\)
''Corolaire 1.32 :'' Soit \(f:[a,b] \to {\mathbb R}\) continue sur \([a,b]\). Alors \(F'(c)=f(c)\) pour tout \(c\in [a,b]\), i.e. \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\).
Preuve : Nous devons admettre que toute fonction continue est R-intégrable ([[Théorème 1.38 qu'on prouvera dans quelques semaines|R-intégrabilité des fonctions continues]]). On peut donc appliquer la Proposition 1.31 2). \(\square\)
''Définition 2.4 :'' Soit \([a,b]\) un [[segment]] et \(f\) une fonction bornée sur \([a,b]\). On définit ''l’intégrale supérieure'' de \(f\) par
\[
\overline{\int}_a^b f\,:=\inf\{ \overline{S}_\sigma(f): \sigma \in {\mathcal S}(a,b)\}
\]
et ''l’intégrale inférieure'' de \(f\) par
\[
\underline{\int}_a^b f\,:=\sup\{ \underline{S}_\sigma(f): \sigma \in {\mathcal S}(a,b)\}.
\]
On dit que \(f\) est ''R-intégrable'' (''intégrable au sens de Riemann'') sur \([a,b]\) si \(\underline{\int}_a^b f\, = \overline{\int}_a^b f\). On le note \(f \in {\mathcal R}(a,b)\). Dans ce cas la valeur commune est appelée ''l’intégrale de Riemann'' de \(f\) sur \([a,b]\) et notée \(\int_a^b f\, dx\).
''Exercice 2.5 :'' Notez que, comme \(f\) est bornée et \([a,b]\) est un segment, les intégrales ci-dessus sont des nombres réels finis. Plus précisément, si \(m \leq f \leq M\) sur \([a,b]\) alors
\[
m(b-a)\leq \underline{\int}_a^b f,\, \overline{\int}_a^b f\, \leq M(b-a).
\]
''Proposition 1.33 :'' Soient \(f,g\) deux fonctions dérivables sur \([a,b]\) telles que \(f',g' \in {\cal R}(a,b)\). Alors
\[
\int_a^b f'(t)g(t)\, dt=[fg]_a^b-\int_a^b f(t)g'(t)\,dt.
\]
Preuve : Les hypothèses impliquent que \(f'g+fg'\in {\cal R}(a,b)\). De plus cette fonction admet une primitive \(fg\). On peut donc appliquer le [[Théorème 1.27|Formule de Newton-Leibniz]]. \(\square\)
''Remarque :'' Les hypothèses de la proposition ci-dessus sont satisfaites pour \(f,g \in C^1([a,b])\).
''Définition 1.40 :'' Soit \(f:[a,b] \to {\mathbb C}\). On dit que \(f\) est R-intégrable sur \([a,b]\) et on le note \(f \in {\cal R}_{\mathbb C}(a,b)\) si
\(\mathrm{Re}f \in {\cal R}(a,b)\) et \(\mathrm{Im}f \in {\cal R}(a,b)\). Dans ce cas on pose
\[
\int_a^b f\, dt = \int_a^b \mathrm{Re} f\,dt+i\int_a^b\mathrm{Im} f\, dt.
\]
''Remarque :'' Presque tous les théorèmes précédents valables dans \({\cal R}(a,b)\) sont aussi valables dans \({\cal R}_{\mathbb C}(a,b)\) (sous réserve de donner bon sens). Une exception est la [[formule de la moyenne|Formule de la moyenne]] qui n'est pas valable dans le cas complexe! (Réfléchissez sur un exemple!) Dans les autres cas il suffit considérer \(\mathrm{Re} f\) et \(\mathrm{Im}f\) séparément pour obtenir des preuves. Une exception est la preuve de \(\vert \int_a^b f\, dt\vert \leq \int_a^b\vert f\vert \, dt\) - voir TD.
''Théorème 1.41 :'' Soient \(f,g \in {\cal R}_{\mathbb C}(a,b)\). Alors
\[
\Big\vert\int_a^b f\overline{g}\, dx\Big\vert^2\leq \int_a^b \vert f\vert^2\, dx \int_a^b \vert g\vert^2\, dx.
\]
De plus, si \(f,g\) sont continues sur \([a,b]\), les deux membres sont égaux si et seulement si il existe \(\lambda \in {\mathbb C}\) tel que \(f=\lambda g\).
Preuve : On pose pour tout \(\lambda \in {\mathbb C}\),
\[
H(\lambda):=\int_a^b (f+\lambda g)\overline{(f+\lambda g)}\, dt.
\]
En développant les produits on obtient :
\[
H(\lambda)=\int_a^b \vert f\vert^2\, dt+\vert \lambda\vert^2 \int_a^b \vert g\vert^2 \, dt + \overline{\lambda}\int_a^b f\overline{g}\, dt + \lambda \int_a^b \overline{f}g\,dt.
\]
Supposons que \(\int_a^b f\overline{g}\, dt \neq 0\) (sinon le résultat est trivial).
On considère seulement \(\lambda\) sous la forme \(\lambda=\rho \frac{\int_a^b f\overline{g}\, dt}{\vert \int_a^b f\overline{g}\, dt\vert}\) avec \(\rho \in {\mathbb R}\).
Donc
\[
H(\lambda)=\rho^2\int_a^b \vert g\vert^2 \, dt+2\rho \Big\vert\int_a^b f\overline{g}\, dt \Big\vert+ \int_a^b \vert f\vert^2 \, dt.
\]
On a \(\int_a^b \vert g\vert^2 \, dt\neq 0\) car on a exclu le cas \(\int_a^b f\overline{g}\, dt = 0\).
Comme \(H(\lambda) \geq 0\) pour tout \(\lambda\), le polynôme quadratique (en \(\rho\)) ci-dessus a discriminant negatif : \(D=4\vert\int_a^b f\overline{g}\, dt \vert^2-4 \int_a^b \vert g\vert^2 \, dt\int_a^b \vert f\vert^2 \, dt\leq 0\). C'est l'inégalité de CS.
S'il existe \(\lambda\) tel que \(f=\lambda g\), on voit facilement l'égalité. Sinon \(H(\lambda)>0\) pour tout \(\lambda\) (car \(f,g\) sont continues) et donc \(D<0\). \(\square\)
''Proposition 1.3 :'' Si \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) et \(\sum_{n=0}^\infty b_n\) sont deux séries convergentes de sommes \(s\) et \(t\), alors pour tout \(\alpha \in \mathbb C\) la série \(\sum_{n=0}^\infty (\alpha a_n+b_n)\) est convergente de somme \(\alpha s+t\).
/***
|''Name:''|MathJaxPlugin|
|''Description:''|Enable LaTeX formulas for TiddlyWiki|
|''Version:''|1.0.1|
|''Date:''|Feb 11, 2012|
|''Source:''|http://www.guyrutenberg.com/2011/06/25/latex-for-tiddlywiki-a-mathjax-plugin|
|''Author:''|Guy Rutenberg|
|''License:''|[[BSD open source license]]|
|''~CoreVersion:''|2.5.0|
!! Changelog
!!! 1.0.1 Feb 11, 2012
* Fixed interoperability with TiddlerBarPlugin
!! How to Use
Currently the plugin supports the following delemiters:
* """\(""".."""\)""" - Inline equations
* """$$""".."""$$""" - Displayed equations
* """\[""".."""\]""" - Displayed equations
!! Demo
This is an inline equation \(P(E) = {n \choose k} p^k (1-p)^{ n-k}\) and this is a displayed equation:
\[J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m + \alpha + 1)}{\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2 m + \alpha}\]
This is another displayed equation $$e=mc^2$$
!! Code
***/
//{{{
config.extensions.MathJax = {
mathJaxScript : "http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML",
// uncomment the following line if you want to access MathJax using SSL
// mathJaxScript : "https://d3eoax9i5htok0.cloudfront.net/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML",
displayTiddler: function(TiddlerName) {
config.extensions.MathJax.displayTiddler_old.apply(this, arguments);
MathJax.Hub.Queue(["Typeset", MathJax.Hub]);
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jQuery.getScript(config.extensions.MathJax.mathJaxScript, function(){
MathJax.Hub.Config({
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story.displayTiddler = config.extensions.MathJax.displayTiddler;
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match: "\\\\\\[|\\$\\$|\\\\\\(",
//lookaheadRegExp: /(?:\\\[|\$\$)((?:.|\n)*?)(?:\\\]|$$)/mg,
handler: function(w)
{
switch(w.matchText) {
case "\\[": // displayed equations
this.lookaheadRegExp = /\\\[((?:.|\n)*?)(\\\])/mg;
break;
case "$$": // inline equations
this.lookaheadRegExp = /\$\$((?:.|\n)*?)(\$\$)/mg;
break;
case "\\(": // inline equations
this.lookaheadRegExp = /\\\(((?:.|\n)*?)(\\\))/mg;
break;
default:
break;
}
this.lookaheadRegExp.lastIndex = w.matchStart;
var lookaheadMatch = this.lookaheadRegExp.exec(w.source);
if(lookaheadMatch && lookaheadMatch.index == w.matchStart) {
createTiddlyElement(w.output,"span",null,null,lookaheadMatch[0]);
w.nextMatch = this.lookaheadRegExp.lastIndex;
}
}
});
//}}}
''Définition 2.7 :'' Soient \(\sigma, \tau \in {\mathcal S}(a,b)\). On dit que \(\tau\) est un ''raffinement'' de \(\sigma\) si \(\sigma \subset \tau\).
''Lemme 2.8 :'' Si \(\tau\) est un raffinement de \(\sigma\) alors \(\underline{S}_\sigma f \leq \underline{S}_{\tau} f \) et \( \overline{S}_\sigma f \geq \overline{S}_{\tau} f \).
Preuve: Imaginons d'abord que \(\#\tau=\#\sigma+1\).
''Corolaire 2.9 (à faire le 2/10/2014) :'' Pour tout \(\sigma,\tau \in {\mathcal S}(a,b)\) on a \(\underline{S}_\sigma f \leq \overline{S}_\tau f\). Par conséquence
\[\underline{\int}_a^b f\, \leq \overline{\int}_a^b f.\]
Preuve: \(\underline{S}_\sigma f \leq \underline{S}_{\sigma \cup \tau} f \leq \overline{S}_{\sigma \cup \tau} f \leq \overline{S}_\tau f\). \(\square\)
''Théorème 1.38:'' Soit \(f\) continue sur le segment \([a,b]\). Alors \(f \in {\mathcal R}(a,b)\).
Preuve : On sait ([[Proposition 1.37|Continuité uniforme]]) que \(f\) est uniformément continue sur \([a,b]\). On fixe \(\varepsilon>0\) et on prend \(\delta\) correspondant à \(\varepsilon/(b-a)\) dans la définition de la continuité uniforme. Soit \(\sigma \in {\cal S}(a,b)\) avec \(\|\sigma\|<\delta\). Alors
\[
\overline{S}_\sigma f-\underline{S}_\sigma f < (b-a) \varepsilon/(b-a)=\varepsilon.
\]
Par la [[Proposition 1.13|Critère de R-intégrabilité]], \(f \in {\cal R}(a,b)\). \(\square\)
''Définition 1.28 :'' Un ''voisinage épointé'' de \(c\in {\mathbb R}\) est n'importe quel ensemble sous la forme \(]c-\eta,c[\cup ]c,c+\eta[\) avec \(\eta>0\).
Soit \(f\) une fonction réelle définie (au moins) dans un voisinage épointé \(U\) de \(c\in {\mathbb R}\). On dit que \(f\) admet une ''limite'' \(a \in {\mathbb R}\) au point \(c\) et on le note
\[
\lim_{x\to c} f(x)=a
\]
si \(\forall \, \varepsilon>0\, \exists \, \delta>0\, \forall x \in U : \vert x-c\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-a\vert <\varepsilon\).
ATTENTION: Cette définition est la VRAIE définition de la limite (plutôt que le jouet que vous avez utilisé en L1).
Notamment, comme \(c\notin U\) on n'impose aucune condition sur la valeur \(f(c)\) qui peut être même non-définie.
Un ''voisinage épointé gauche'' de \(c \in {\mathbb R}\) est n'importe quel ensemble sous la forme \(]c-\eta,c[\) avec \(\eta>0\).
Soit \(f\) une fonction réelle définie (au moins) dans un voisinage épointé gauche \(U^-\) de \(c\in {\mathbb R}\). On dit que \(f\) admet une ''limite à gauche'' \(a \in {\mathbb R}\) au point \(c\) et on le note
\[
\lim_{x\to c-} f(x)=a
\]
si \(\forall \, \varepsilon>0\, \exists \, \delta>0\, \forall x \in U : \vert x-c\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-a\vert<\varepsilon\).
On définit ''voisinage épointé droite'' et ''limite à droite'' de manière similaire.
''Remarque :'' \[\lim_{x\to c} f(x)=a \Leftrightarrow \lim_{x \to c-} f(x)=a=\lim_{x\to c+} f(x)\]
''Définition 1.29 :''
*Une fonction \(f\) est dite ''continue'' au point \(c\) si \(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\).
*Elle est continue ''sur'' un intervalle \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\).
*Soit \(I\) un intervalle. Une fonction \(f:I\to {\mathbb R}\) est dit ''lipschitzienne'' sur \(I\) s'il existe une constante \(L>0\) telle que pour tout \(x,y \in I\) on a \(\vert f(x)-f(y)\vert\leq L\vert x-y\vert\).
''Lemme 1.30 :'' Toute fonction lipschitzienne sur \(I\) est continue sur \(I\).
''Proposition 1.15 :'' Soit \(f:[a,b] \to {\mathbb R}\) bornée et \(c \in ]a,b[\). Alors
\[
f \in {\mathcal R}(a,b) \Leftrightarrow f \in {\mathcal R}(a,c) \cap {\mathcal R}(c,b).
\]
Dans ce cas
\[
\int_a^b f\, dx = \int_a^c f\, dx + \int_c^b f\, dx.
\]
Preuve : Les deux directions sont basées sur la [[Proposition 1.13|Critère de R-intégrabilité]]. \(\square\)
''Convention :''
*Soit \(f \in {\mathcal R}(a,b)\). On pose \(\int_b^a f\,dx:=-\int_a^b f\, dx\).
*On pose aussi \(\int_c^c g\,dx=0\) pour tout \(c \in {\mathbb R}\) et toute fonction \(g\) telle que \(g(c)\in {\mathbb R}\).
*Par conséquence pour tout \(a,b,c \in {\mathbb R}\) la relation
\[
\int_a^b f\, dx = \int_a^c f\, dx + \int_c^b f\, dx
\]
est vraie lorsque le terme de gauche ou le terme de droite a sens.
2014/2015 Université ~Franche-Comté
Il s'agit de l'analogue suivant de l'[[intégration par parties|Intégration par parties]] :
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites complexes, on pose \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\) et \(S_0=0\). Alors
\[
\sum_{k=1}^n a_kb_k = \sum_{k=1}^n (S_k-S_{k-1})b_k= \sum_{k=1}^n S_kb_k-\sum_{k=1}^{n-1} S_kb_{k+1}= \sum_{k=1}^n S_k(b_k-b_{k+1}) +S_nb_n
\]
''Définition 1.22 :'' Une ''subdivision pointée'' du segment \([a,b]\) est un couple \((\sigma, \xi)\) où \(\sigma \in {\mathcal S}(a,b)\), \(\sigma=\{x_0,\ldots, x_n\}\) et \(\xi=\{\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}\}\) avec \(\xi_i \in [x_i,x_{i+1}]\) pour tout \(i=0,\ldots,n-1\).
L'ensemble de toutes subdivisions pointées de \([a,b]\) est noté \({\mathcal S}_p(a,b)\).
''Définition 1.23 :'' Soit \(f:[a,b] \to {\mathbb R}\) bornée. Soit \((\sigma,\xi) \in {\mathcal S}_p(a,b)\). On appelle la somme
\[
S_{(\sigma,\xi)} f =\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) f(\xi_i)
\]
la somme de Riemann associée à \((\sigma,\xi)\) et \(f\).
''Lemme 1.24 :'' Pour toute fonction \(f:[a,b] \to {\mathbb R}\) bornée et toute \((\sigma,\xi) \in {\mathcal S}_p(a,b)\) on a
\[
\underline{S}_\sigma f \leq S_{(\sigma,\xi)}f \leq \overline{S}_\sigma f.
\]
Preuve : exercice (triviale).
''Corolaire 1.25 :'' Soit \(f \in {\mathcal R}(a,b)\). Soit \(((\sigma_n,\xi_n))\) une suite dans \({\mathcal S}_p(a,b)\) dont \(\|\sigma_n\|\to 0\). Alors
\[
S_{(\sigma_n,\xi_n)}f \longrightarrow \int_a^b f\, dx.
\]
''Théorème 1.26 :'' Soit \(f:[a,b] \to {\mathbb R}\) une fonction. Il est équivalent :
# \(f \in {\mathcal R}(a,b)\) et \(\int_a^b f \, dx=A\),
# \(\forall \, \varepsilon>0 \, \exists \, \delta>0 \, \forall \, (\sigma, \xi)\in {\cal S}_p(a,b): \|\sigma\|<\delta \Rightarrow \vert S_{(\sigma,\xi)}f -A\vert<\varepsilon\).
Preuve : 1. \(\Rightarrow\) 2. : Combinaison de la [[Proposition 1.20|intégrale de Riemann comme une limite]] et du Lemme 1.24
2. \(\Rightarrow\) 1. : Soit \(\varepsilon >0\) fixe. Soit \(\sigma \in {\cal S}(a,b)\) avec \(\|\sigma\|<\delta\). On sait que pour tout \(\xi\) on a \(\vert S_{(\sigma,\xi)}f-A\vert<\varepsilon\). Par passage à sup (resp. inf) on a \( \overline{S}_\sigma f - A \leq \varepsilon\) (resp. \(A- \underline{S}_\sigma f \leq \varepsilon\)). Donc \(\overline{S}_\sigma f-\underline{S}_\sigma f\leq 2\varepsilon\) et on peut conclure en utilisant la [[Proposition 1.13|Critère de R-intégrabilité]]. \(\square\)
''Définition 1.1 :'' Soit \((a_n) \subset \mathbb C\). On associe avec \((a_n)\) une nouvelle suite \((S_n)\) définie par \(S_n:=\sum_{k=0}^n a_k\) appelée la ''suite de sommes partielles de la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\)''.
Si \(\lim S_n=S \in \mathbb C\) on dit que la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) ''converge'' et on appelle \(S\) la ''somme de la série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\)''. Dans ce cas on pose \(\sum_{n=0}^\infty a_n:=S\).
Si \(\lim S_n\) n'existe pas dans \(\mathbb C\), on dit que série \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) ''diverge''.
''Corollaire 1.11 :'' Soient \((a_n)\subset \mathbb C \setminus \{\emptyset\}\) et \((b_n)\subset \mathbb R^+\). Si \(\exists \, n_0 \in \mathbb N\) t.q. \(\forall\, n\geq n_0\) on a \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}\), alors
* \(\sum b_n\) CV \(\Rightarrow\) \(\sum |a_n|\) CV,
* \(\sum a_n\) DV \(\Rightarrow\) \(\sum b_n\) DV.
''Corolaire 1.10 :''
* S'il existe \(q \in ]0,1[\) tel que \(\sqrt[n]{\vert a_n\vert} \leq q\) pour tout \(n\), alors \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge absolument.
* Si \(\sqrt[n]{\vert a_n\vert} \geq 1\) pour tout \(n\), alors \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) diverge.
ATTENTION : Ce critère ne donne aucune information si on vérifie seulement \(\limsup \sqrt[n]{\vert a_n\vert}=1\).
''Corollaire 1.12 :'' Soit \((a_n)\subset \mathbb C \setminus \{\emptyset\}\).
*S'il existe \(n_0 \in \mathbb N\) et \(q \in ]0,1[\) tels que \(\forall \, n\geq n_0\) on a \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq q\), alors \(\sum|a_n|\) CV.
*S'il existe \(n_0 \in \mathbb N\) tel que \(\forall \, n\geq n_0\) on a \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\geq 1\), alors \(\sum a_n\) DV.
''Proposition 1.10 :'' Soient \(f,g \in {\mathcal R}(a,b)\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\). Alors \(\alpha f+g \in {\mathcal R}(a,b)\) et
\[
\int_a^b \alpha f+g \, dx=\alpha \int_a^b f \, dx+ \int_a^b g \, dx.
\]
Preuve : La homogénéité - directe de la définition si \(\alpha>0\), la rôle des intégrales inférieur et supérieur est interchangée quand \(\alpha<0\).
L’additivité - il faut utiliser la conséquence suivante du [[Lemme 1.8|Quelques propriétés de sommes inf et sup]]
\[
\inf_{\sigma \in {\mathcal S}(a,b)}(\overline{S}_\sigma f +\overline{S}_\sigma g)= \inf_\sigma \overline{S}_\sigma f + \inf_\tau \overline{S}_\tau g
\]
pour obtenir
\[
\overline{\int}_a^b f+\overline{\int}_a^b g\geq \overline{\int}_a^b (f+g) \geq \underline{\int}_a^b(f+g)\geq \underline{\int}_a^b f + \underline{\int}_a^b g
\]
\(\square\)
''Corolaire 1.11 :'' a) (//l'inégalité de la moyenne//) : si \(f \in \cal{R}(a,b)\) et \(m \leq f(x) \leq M\) pour tout \(x \in [a,b]\) alors \(m(b-a)\leq \int_a^bf\, dt \leq M(b-a)\).
b) (//positivité de l'intégrale//) Si \(f \in \cal{R}(a,b)\) et \(0 \leq f(x) \) pour tout \(x \in [a,b]\) alors \(0 \leq \int_a^b f\,dt\).
c) Pour \(f,g \in {\mathcal R}(a,b)\) avec \(f \geq g\) sur \([a,b]\) on a \(\int_a^b f\, dx \geq \int_a^b g\, dx\).
''Définition 1.19 :'' Soit \(\sigma \in {\mathcal S}(a,b)\), \(\sigma=\{x_0,\ldots,x_n\}\). La quantité
\[
\|\sigma\|:=\max\{x_{i+1}-x_{i}:0 \leq i \leq n-1\}
\]
est appelée ''le pas'' de \(\sigma\).
''Proposition 1.20 :'' Soit \(f \in {\mathcal R}(a,b)\) bornée. Alors pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que pour tout \(\tau\in {\mathcal S}(a,b)\) avec \(\|\tau\|<\delta\) on a \(\overline{S}_\tau f-\underline{S}_\tau f<\varepsilon\).
Preuve : Soit \(\varepsilon>0\). Il existe (grâce à la [[Proposition 1.13|Critère de R-intégrabilité]]) un \(\sigma \in {\mathcal S}(a,b)\) tel que \(\overline{S}_\sigma f-\underline{S}_\sigma f<\varepsilon/3\). On suppose que \(\vert f \vert <K\) sur \([a,b]\) et \(\sigma=(x_0,\ldots, x_n)\). On prends \(\delta>0\) tel que
\[
\delta<\frac{\min\{x_{i+1}-x_i:0\leq i \leq n-1\}}{2}
\]
et
\[
\delta<\frac{\varepsilon}{6K(n-1)}.
\]
Soit \(\tau\) arbitraire avec \(\|\tau\|<\delta\), \(\tau=(y_0,\ldots,y_m)\). Grâce à notre choix de \(\delta\) il satisfait : pour tout \(k=0,\ldots,m-1\) il existe au plus un \(i=0,\ldots,n-1\) tel que \(y_k<x_i<y_{k+1}\).
Notons par \(l\) le nombre des indices \(k\) tels que \(i\) ci-dessus effectivement existe. Remarquons que \(l \leq n-1\).
''1)'' Si on suppose que \(l=1\), alors \(\overline{S}_{\tau}f-\overline{S}_{\sigma \cup \tau}f<\delta 2K<\varepsilon/3(n-1)\).
''2)'' Pour une valeur de \(l\) arbitraire on peut trouver \(l\) subdivisions intermédiaires et en appliquant \(l\) fois le pas ''1)'' on obtient \(0\leq \overline{S}_{\tau}f-\overline{S}_{\sigma \cup \tau}f<\varepsilon/3\).
De même \(0\leq \underline{S}_{\sigma\cup \tau}f-\underline{S}_{\tau}f<\varepsilon/3\). Comme \(\overline{S}_{\sigma \cup \tau}f-\underline{S}_{\sigma \cup \tau}f<\varepsilon/3\), il suit que \(\overline{S}_\tau f-\underline{S}_\tau f <\varepsilon\). \(\square\)
''Corolaire 1.21 :'' Soit \(f \in {\mathcal R}(a,b)\). Soit \((\sigma_n)\) une suite de subdivisions de \([a,b]\) telle que \(\|\sigma_n\|\to 0\). Alors \[\lim_{n \to \infty}\overline{S}_{\sigma_n}f =\lim_{n \to \infty}\underline{S}_{\sigma_n}f = \int_a^b f\,dx.\]
''Proposition 1.18 :'' Soient \(f,g \in {\mathcal R}(a,b)\). Alors
''i)'' \(\max\{f,g\} \in {\mathcal R}(a,b)\), \(\min\{f,g\} \in {\mathcal R}(a,b)\),
''ii)'' \(fg \in {\mathcal R}(a,b)\).
Preuve : ''i)'' \(\max\{f,g\}=\frac{f+g+\vert f+g\vert}{2}\) et \(\min\{f,g\}=\frac{f+g+\vert f-g\vert}{2}\) et Propositions [[1.11|fonctions R-intégrables sont un espace vectoriel ]] et [[1.16|valeur absolu]].
''ii)'': \(fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}\) donc il suffit prouver dans le cas \(f=g \geq 0\).
On a dans ce cas \(\inf_A f^2=(\inf_A f)^2\) et \(\sup_A f^2 = (\sup_A f)^2\) pour tout ensemble \(A\). Donc
\[
\overline{S}_\sigma f^2-\underline{S}_\sigma f^2 =\sum (x_{i+1}-x_i)( \sup f^2-\inf f^2)\leq 2K (\overline{S}_\sigma f-\underline{S}_\sigma f )
\]
où \(\vert f\vert \leq K\) sur \([a,b]\). On conclut par [[Proposition 1.13|Critère de R-intégrabilité]].\(\square\)
Pour nous ça sera un intervalle fermé, borné, non-dégénéré.
''Définition 2.2 :'' Soit \([a,b]\) un [[segment]], \(\sigma \in {\mathcal S}(a,b)\), \(\sigma=\{x_0,\ldots, x_n\}\), et \(f\) une fonction réelle bornée sur \([a,b]\). La somme
\[
\overline{S}_\sigma f:=\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)
\]
s'appelle la ''somme de Darboux supérieure'' associée à la fonction \(f\) et la subdivision \(\sigma\).
Similairement
\[
\underline{S}_\sigma f:=\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) \inf_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)
\]
est la ''somme de Darboux inférieure'' associée à la fonction \(f\) et la subdivision \(\sigma\).
''Lemme 2.3 :'' Il est clair (exercice) que \(\underline{S}_\sigma f \leq \overline{S}_\sigma f\).
''Définition 2.1 :'' Soit \([a,b]\) un [[segment]]. On appelle une ''subdivision'' de \([a,b]\) tout ensemble fini \(\sigma=\{x_0,\ldots,x_n\}\) de \([a,b]\) (\(n=1,2,\ldots\)) tel que
\[a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b.\]
On dénotera par \({\mathcal S} (a,b)\) l'ensemble de toutes subdivisions de \([a,b]\).
''Proposition 1.16 :'' Soit \(f \in {\mathcal R}(a,b)\). Alors ''a)'' \(\vert f\vert \in {\mathcal R}(a,b)\) et ''b)'' on a \(\vert\int_a^b f\,dx\vert \leq \int_a^b \vert f\vert \,dx\).
ATTENTION : Il est important ici que \(f\) est bornée et \([a,b]\) est un segment. Ne pas confondre avec les intégrales de Riemann généralisés définis plus loin dans le cours!!!
Preuve : ''a)'' On combine le fait que \(\sup_A\vert f\vert - \inf_A \vert f \vert \leq \sup_A f-\inf_A f\) pour n'importe quel ensemble \(A\) avec la [[Proposition 1.13|Critère de R-intégrabilité]].
''b)'' \(-\vert f\vert \leq f \leq \vert f\vert\) et [[Corolaire 1.12|fonctions R-intégrables sont un espace vectoriel]].
''Exercice 1.17 :'' Donner un exemple d'une fonction \(f\) telle que \(\vert f\vert \in {\mathcal R}(a,b)\) mais \(f \notin {\mathcal R}(a,b)\).